Les quartiles et la boîte à moustaches (ou boxplot) sont des outils clés en statistiques descriptives pour analyser la dispersion et la répartition des données. Ils permettent de visualiser la distribution d’un jeu de données et de repérer d’éventuelles valeurs extrêmes (outliers).
1. Quartiles
Les quartiles divisent un ensemble de données triées en quatre parties égales, chacune contenant 25 % des observations. Ils permettent de comprendre la répartition des données au-delà de la simple médiane.
Définitions :
- Q1 (premier quartile) : La valeur en dessous de laquelle se trouvent 25 % des données (le "bas" du milieu).
- Q2 (deuxième quartile) : La médiane, qui sépare les données en deux moitiés égales (50 %).
- Q3 (troisième quartile) : La valeur en dessous de laquelle se trouvent 75 % des données (le "haut" du milieu).
- Écart interquartile (IQR) : La différence entre Q3 et Q1 (IQR=Q3−Q1), qui mesure la dispersion du 50 % central des données.
Exemple
Prenons cet ensemble de données :
4, 7, 8, 10, 12, 15, 18, 21, 22
Calcul des quartiles
- Trier les données : Elles sont déjà triées ici : 4, 7, 8, 10, 12, 15, 18, 21, 22
- Q1 = 1/4 (9+1) = 2,5e valeur → entre 7 et 8 → (7+8)/2 = 7,5
- Q2 = 1/2 (9+1) = 5e valeur → 12 (médiane)
- Q3 = 3/4 (9+1) = 7,5e valeur → entre 18 et 21 → (18+21)/2 = 19,5
2. L’Intervalle Interquartile (IQR)
L’IQR (InterQuartile Range) est la différence entre le 3ᵉ quartile et le 1ᵉʳ quartile :
IQR=Q3−Q1IQR = Q3 - Q1IQR=Q3−Q1
🔹 Interprétation :
- IQR faible → Les données sont concentrées autour de la médiane
- IQR élevé → Les données sont plus dispersées
🔹 Exemple (suite) :
IQR=19,5−7,5=12
3️. La Boîte à Moustaches (Boxplot)
La boîte à moustaches est une représentation graphique qui résume la distribution des données en affichant les quartiles et les valeurs extrêmes.
🔹 Éléments d’une boîte à moustaches :
📦 Boîte centrale → Entre Q1 et Q3, contenant 50% des données
📏 Moustaches → Extensions vers les valeurs extrêmes (sans outliers)
🔴 Outliers (valeurs aberrantes) → Points au-delà de la plage normale
📊 Comment sont définies les moustaches ?
- Borne inférieure : Q1−1.5×IQRQ1 - 1.5 \times IQRQ1−1.5×IQR
- Borne supérieure : Q3+1.5×IQRQ3 + 1.5 \times IQRQ3+1.5×IQR
➡ Toute valeur hors de ces bornes est considérée comme une valeur aberrante (outlier).
4. Exemple Graphique d’une Boîte à Moustaches
5. Pourquoi Utiliser les Quartiles et la Boîte à Moustaches ?
Les quartiles et boîtes à moustaches sont très utiles lorsque vous souhaitez aborder les aspects suivants de l’analyse de données :
✅ Comparer plusieurs distributions
✅ Visualiser la dispersion et les valeurs aberrantes
✅ Identifier l’asymétrie des données